三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A-C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=3，求△ABC的面积．
问题描述：
三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A-C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b=
，求△ABC的面积．
3
答
知识点：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
（Ⅰ） 三角形ABC中，∵sinB+sin（A-C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A-C）=4sinCcosC，sinA=2sinC，∴a=2c．又因为b2=ac=2c2，∴cosB=a2+c2-b22ac=34．（Ⅱ）∵b=3，b2=ac=2c2，∴c=32，∴a=6．又∵sinB=1-cos2...
答案解析：（Ⅰ） 三角形ABC中，由条件化简可得sinA=2sinC，故有a=2c．再由b2=ac=2c2，求得cosB=
的值．
a2+c2−b2
2ac
（Ⅱ）根据b=
，b2=ac=2c2，求得c和a的值，求得sinB=
3
的值，再根据△ABC的面积S=
1−cos2B
ac•sinB，计算求得结果．1 2
考试点：正弦定理；余弦定理．
知识点：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．