正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比是______．
问题描述：
正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比是______．
答
由题意可知该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，
故设正方体的棱长为a，则正四面体的棱长为
a，
2
而正方体的体积为a3，正四面体的体积为正方体的体积减掉4个相同的小三棱锥的体积，
故正四面体的体积为a3-4×
×1 3
a2×a=1 2
a31 3
故该正四面体的体积与正方体的体积之比为：
a3：a3=1：31 3
故答案为：1：3．
答案解析：由题意可得该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，其体积为正方体的体积减掉4个相同的小三棱锥的体积，设出棱长可求．
考试点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
知识点：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积公式，得到正四面体恰好以正方体的面对角线为棱是解决问题的关键，属基础题．