求方程7x+19y=213的所有正整数解．
问题描述：
求方程7x+19y=213的所有正整数解．
答
用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x=
=30-2y+213-9y 7
②3-5y 7
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y=
=-u-+3-7u 5
③，3-2u 5
令
=v，则2u+5v=3．④3-2u 5
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，
所以它的一切解为
，
x=25-19t y=2+7t
由于要求方程的正整数解，所以
，
25-19t＞0 2+7y＞0
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：
和
x=25 y=2
．
x=6 y=9