定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）． （1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点； （2）若对
问题描述：
定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g(x)＝−x+
的图象上，求b的最小值．a 5a2−4a+1
（参考公式：A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为(
，
x1+x2
2
)）
y1+y2
2
答
（1）f（x）=x2-x-3，由x2-x-3=x，
解得x=3或x=-1，所以所求的不动点为-1或3．
（2）令ax2+（b+1）x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2-4a（b-1）＞0，
即b2-4ab+4a＞0恒成立，
则△'=16a2-16a＜0，故0＜a＜1
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），g(x)＝−x+
，a 5a2−4a+1
又AB的中点在该直线上，所以
＝−
x1+x2
2
+
x1+x2
2
，a 5a2−4a+1
∴x1+x2＝
，a 5a2−4a+1
而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2＝−
，即−b a
＝b a
，a 5a2−4a+1
∴b＝−
=-a2 5a2−4a+1
=-1
(
)2−4(1 a
)+51 a
1
(
−2)2+11 a
∴当a=
∈（0，1）时，bmin=-11 2