已知函数f(X)满足f(logaX)=[a(x-x^-1)]/(a^2-1),其中a＞0且a≠1
问题描述：
已知函数f(X)满足f(logaX)=[a(x-x^-1)]/(a^2-1),其中a＞0且a≠1
已知函数f(X)满足f(logaX)=[a(x-x^-1)]/(a^2-1),其中a＞0且a≠1 (1) 对于函数f(X),当X∈(-1,1)时,f(1-M)+f(1-M^2)＜0.求实数M的取值集合.(2)当X∈(-∞,2)时,f(X)-4的值恰为负数,求a的取值范围.还请给出过程 ^O^
答
（1）logaX=x
a^x=X
f(logaX)=(a/a^2-1)(x-x^-1)
f(x)=(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)
=-(a/a^2-1)[(a^x-1/2)^2+3/4]
当a^2-1（1）设u=log_a (x)，则x=a^u，于是f(u)=a*(a^u-a^(-u))/(a^2-1)=(a^u-1/a^u)/(a-1/a)，所以f(x)=(a^x-1/a^x)/(a-1/a)，易知，f(x)为奇函数。 f'(x)= ln(a)*(a^x+a^(-x))*a/(a^2-1)； ①、 当00； ②、 当a>1时，f'(x)>0。 故f(x)为增函数， f(1-M)+f(1-M^2)＜0=>f(1-M)＜-f(1-M^2) => f(1-M)＜f(M^2-1)， 所以，1-M＜M^2-1，M^2+M-2>0，(M+2)(M-1)>0， M>1或M f(x)0，a≠1，所以，a的取值范围是：(2-√3, 1)∪(1, 2+√3)。