如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面PCE; (Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD; (Ⅲ)求三棱锥C-BEP的体积.

问题描述:

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为棱AB、PD的中点.

(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求三棱锥C-BEP的体积.

证明:(Ⅰ)取PC的中点G,
连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线
∴FG

.
.
1
2
CD
∵四边形ABCD为矩形,
E为AB的中点
∴AE
.
.
1
2
CD
∴FG
.
.
AE
∴四边形AEGF是平行四边形(2分)
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE,AF⊄平面PCE
∴AF∥平面PCE(4分)
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD,PA⊥CD,
又AD⊥CD,PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP又AF⊂平面ADP,
∴CD⊥AF
在RT△PAD中,∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形,
∴PA=AD=2(6分)
∵F是PD的中点,∴AF⊥PD,又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD
∵AF∥EG,
∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD(8分)
(Ⅲ)PA⊥底面ABCD
在Rt△BCE中,BE=1,BC=2,(10分)
∴三棱锥C-BEP的体积
VC-BEP=VP-BCE=
1
3
S△BCE•PA
=
1
3
1
2
•BE•BC•PA=
1
3
1
2
•1•2•2=
2
3
(12分)