如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面PCE； （Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； （Ⅲ）求三棱锥C-BEP的体积．
问题描述：
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BEP的体积．
答
证明：（Ⅰ）取PC的中点G，
连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线
∴FG
∥ . .
CD1 2
∵四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点
∴AE
∥ . .
CD1 2
∴FG
AE
∥ . .
∴四边形AEGF是平行四边形（2分）
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE
∴AF∥平面PCE（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP又AF⊂平面ADP，
∴CD⊥AF
在RT△PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=AD=2（6分）
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD
∵AF∥EG，
∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
（Ⅲ）PA⊥底面ABCD
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）
∴三棱锥C-BEP的体积
VC-BEP=VP-BCE=
S△BCE•PA=1 3
•1 3
•BE•BC•PA＝1 2
•1 3
•1•2•2＝1 2
（12分）2 3