在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．（1）求A的大小；（2）若BC=3，求△ABC的周长l的最大值．
问题描述：
在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．
（1）求A的大小；
（2）若BC=3，求△ABC的周长l的最大值．
答
知识点：本题考查两角差的正弦公式，根据三角函数的值求角，正弦定理的应用，正弦函数的值域，得到△ABC的周长l=
2
sin（θ+
）+3，是解题的关键．
（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，
而sinC≠0，则cosA=-
，又A∈（0，π），于是A=1 2
； 2π 3
（2）记B=θ，则C=
-θ（0<θ<π 3
），由正弦定理得π 3
，
AC=2
sinθ
3
AB=2
sin(
3
-θ)π 3
则△ABC的周长l=2
[sinθ+sin（
3
-θ）]+3=2π 3
sin（θ+
3
）+3≤2π 3
+3，
3
当且仅当θ=
时，周长l取最大值2π 6
+3．
3
答案解析：（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，得到cosA=−
，故A=1 2
．2π 3
（2）记B=θ，则C=
-θ（0＜θ＜π 3
），由正弦定理得π 3
，△ABC的周长l=2
AC＝2
sinθ
3
AB＝2
sin(
3
−θ)π 3
sin（θ+
3
）+3，π 3
由正弦函数的值域求得其最大值．
考试点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
知识点：本题考查两角差的正弦公式，根据三角函数的值求角，正弦定理的应用，正弦函数的值域，得到△ABC的周长l=
2
| 3 |
| π |
| 3 |