已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4

问题描述:

已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4

f(x)=kx^2+(3+k)x+3=k[x+(k+3)/(2k)]²+3-(k+3)²/(4k²﹚
f(-1)=0,
f(4)=20k+15
∵3-(k+3)²/(4k²﹚≤3<4
∴f(4)=20k+15=4
∴k=﹣11/20
但此时,f(x)=﹣11/20(x-49/22)²+3-(49/22)²,开口向下,49/22∈[-1,4]
∴函数在x=49/22取得最大值3-(49/22)²<4 ,不合题意
∴不存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4