在三角形abc中,sina=4cosbcosc,且tanbtanc=3(1)求角a的余弦值(2)若角a所对的边a长为4,求三角形abc的面积
问题描述：
在三角形abc中,sina=4cosbcosc,且tanbtanc=3(1)求角a的余弦值(2)若角a所对的边a长为4,求三角形abc的面积
答
注明：大写字母表示角
由题得
sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4cosBcosC
即
tabB+tanC=4
又
tanbtanc=3
由正切定理有tanA=2 ①
又 sin^2A+cos^B=1 ②
联立 ①②得
cosB=±(5^1/2)/5
由于
ABC为三角形中的角 sinA>0
所以cosB=(5^1/2)/5
由题得
tabB+tanC=4
tanbtanc=3
联立以上两式得
tanC=1,tanB=3 或tanC=3,tanB=1 ④
有正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC ⑤
S=1/2(b^2+c^2)sinA ⑥
联立 ④⑤ ⑥
S=6