已知f(x)=2sinxcosx+23cos2x−1−3. (1)求f(x)的最大值及此时x的值; (2)求f(x)的单调递增区间.

问题描述:

已知f(x)=2sinxcosx+2

3
cos2x−1−
3

(1)求f(x)的最大值及此时x的值;  
(2)求f(x)的单调递增区间.

(1)∵2sinxcosx=sin2x,2cos2x=1+cos2x
f(x)=2sinxcosx+2

3
cos2x−1−
3
=sin2x+
3
(1+cos2x)-1-
3
=sin2x+
3
cos2x-1
化简,得f(x)=2sin(2x+
π
3
)-1
∴当2x+
π
3
=
π
2
+2kπ
时,即x=
π
12
+kπ(k∈Z)时,函数有最大值1
(2)令
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
π
2
+2kπ
,得-
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ,(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间是[-
12
+kπ,
π
12
+kπ](k∈Z)