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中心为（0，0），一个焦点为F（0，52）的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程是（　　） A.2x275+2y225=1 B.x275+y225=1 C.x225+y275=1 D.2x225+2y275=1

分类: 作业答案 • 2021-11-13 00:32:23
问题描述：

中心为（0，0），一个焦点为F（0，5

2
）的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为
1
2
，则该椭圆方程是（　　）
A.
2x2
75
+
2y2
25
=1
B.
x2
75
+
y2
25
=1
C.
x2
25
+
y2
75
=1
D.
2x2
25
+
2y2
75
=1

答

设椭圆的标准方程为

x2
a2
+
y2
b2
＝1（a＞b＞0），
由F（0，5
2
），
∴c=5
2
，
∴a2-b2=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．
设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则由根与系数的关系得x1+x2=
12b2
a2+9b2
，
又AB的中点的横坐标为
1
2
，
∴
6b2
a2+9b2
=
1
2
，
∴a2=3b2，与方程a2-b2=50联立可解出a2=75，b2=25．
故椭圆的方程
x2
25
+
y2
75
=1．
故选C．

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