已知函数f(x)=a-2/2x+1 (1)若该函数为奇函数,求a; (2)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论.
问题描述:
已知函数f(x)=a-
2
2x+1
(1)若该函数为奇函数,求a;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并证明你的结论.
答
(1)∵函数为奇函数,
∴f(0)=0,
∴a-1=0,
∴a=1,
∴a的值为1.
(2)根据(1)得
f(x)=1-
,2
2x+1
∴该函数为R上的增函数,证明如下:
任设x1,x2∈R,且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=1-
−1+2
2x1+1
,2
2x2+1
=
,2(2x1−2x2) (2x1+1)(2x2+1)
∵x1<x2,
∴2x1−2x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴该函数为R上的增函数.