已知函数f(x)=x^2+bx+c,b c为实数,对于任意实数恒有,f'(x)≤f(x)

(1)
f(x)=x²+bx+c
f'(x)=2x+b
由题意,得
2x+b≤x²+bx+c恒成立
x²+(b-2)x+(c-b)≥0恒成立
∴(b-2)²-4(c-b)≤0
b²+4-4c≤0,即c≥1+ b²/4≥1,………………①
f(x)-(x+c)²=x²+bx+c-x²-2cx-c²=(b-2c)x+(c-c²)
∵b-c≤-b²/4+b-1=-(b/2 -1)²≤0
c-c²=c(1-c)在c≥1的范围内,恒为非负数
∴f(x)-(x+c)²在x≥0时,恒为非负数
即f(x)-(x+c)²≤0恒成立
即f(x)≤(x+c)²在x≥0时恒成立
得证
(2)
f(c)-f(b)=c²+bc+c-b²-b²-c=(c²-b²)+(bc-b²)=(c+b)(c-b)+b(c-b)=(c+2b)(c-b)
f(c)-f(b)-M(c²-b²)
=(c-b)(c+2b-Mc-Mb)≤0
∵c-b≥b²/4-b+1=(b/2-1)²≥0
∴如果上边的式子恒成立,则c+2b-Mc-Mb≤0,M≥(c+2b)/(c+b)=1 +1/【(c/b)+1】恒成立
当b＞0时,c/b≥1/b +b/4≥2*√[(1/b)(b/4)]=1,此时c/b +1≥2,1+ 1/【(c/b)+1】∈(1,3/2]
当b＜0时,c/b≤1/b +b/4≤-2√[(-1/b)(-b/4)]=-1,取等号时恒成立,不取等号时,此时c/b +1＞,1+1/【(c/b)+1】＞1,
当b=0时,c≥1,c(1-M)≤0恒成立,则1-M≤0,即M≥1恒成立
综上所述,M≥3/2时,以上所有情况恒成立
即M的最小值为3/2