如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC． （Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；（Ⅱ）求AE的长；（Ⅲ）求二面角E-PC-A
问题描述：
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求AE的长；
（Ⅲ）求二面角E-PC-A的正弦值．
答
（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF …（5分）
∵PA=3，AB=4∴PD=5，AG=
，12 5
又PA2=PG•PD∴PG=
…（6分）9 5
又
=GF CD
∴GF=PG PD
=
×49 5 5
∴AE=36 25
…（8分）36 25
（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角 …（10分）EO=AE•sin45°=
×36 25
=
2
2
，又EF=AG=18
2
25
12 5
∴sin∠EFO=
=EO EF
×18
2
25
=5 12
…（13分）3
2
10