答
(Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD …(2分)
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF …(5分)
∵PA=3,AB=4∴PD=5,AG=,
又PA2=PG•PD∴PG=…(6分)
又=∴GF==∴AE=…(8分)
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,
又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角 …(10分)EO=AE•sin45°=×=,又EF=AG=
∴sin∠EFO==×=…(13分)
答案解析:(Ⅰ)通过证明CD⊥平面PAD,AG⊥平面PCD,作EF⊥PC于F,证明EF∥AG,利用直线与平面平行的判定定理证明AG∥平面PEC.
(Ⅱ)证明AE∥平面PCD,推出AE=GF,通过PA2=PG•PD,求出PG,利用=求出AE,即可.
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,说明∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角,利用sin∠EFO=求出结果即可.
考试点:A:二面角的平面角及求法 B:直线与平面平行的判定
知识点:本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直与平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.