如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(Ⅰ)求证:AG∥平面PEC;(Ⅱ)求AE的长;(Ⅲ)求二面角E-PC-A的正弦值.

问题描述:

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.

(Ⅰ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅱ)求AE的长;
(Ⅲ)求二面角E-PC-A的正弦值.

(Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …(2分)
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC     …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF       …(5分)
∵PA=3,AB=4∴PD=5,AG=

12
5

又PA2=PG•PD∴PG=
9
5
…(6分)
GF
CD
=
PG
PD
GF=
9
5
×4
5
=
36
25
AE=
36
25
…(8分)
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,
又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角  …(10分)EO=AE•sin45°=
36
25
×
2
2
=
18
2
25
,又EF=AG=
12
5

sin∠EFO=
EO
EF
=
18
2
25
×
5
12
=
3
2
10
…(13分)
答案解析:(Ⅰ)通过证明CD⊥平面PAD,AG⊥平面PCD,作EF⊥PC于F,证明EF∥AG,利用直线与平面平行的判定定理证明AG∥平面PEC.
(Ⅱ)证明AE∥平面PCD,推出AE=GF,通过PA2=PG•PD,求出PG,利用
GF
CD
=
PG
PD
求出AE,即可.
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,说明∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角,利用sin∠EFO=
EO
EF
求出结果即可.
考试点:A:二面角的平面角及求法 B:直线与平面平行的判定
知识点:本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直与平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.