在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=a/3,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=_.

问题描述:

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=

a
3
,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=______.

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD,又PQ=面PMN∩平面ABCD,
∴MN∥PQ.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC,
∴PQ∥AC,又AP=

a
3
,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,
∴CQ=
a
3
,从而DP=DQ=
2a
3

∴PQ=
DQ2+DP2
=
(
2a
3
)2+(
2a
3
)2
=
2
2
3
a.
故答案为:
2
2
3
a.