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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=a/3，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 11:34:32
问题描述：

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=

a
3
，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ=______．

答

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1．
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=

a
3
，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ=
a
3
，从而DP=DQ=
2a
3
，
∴PQ=
DQ2+DP2
=
(
2a
3
)2+(
2a
3
)2
=
2
2
3
a．
故答案为：
2
2
3
a．

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