椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，9/5)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线的斜率．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 11:04:26

问题描述：

椭圆

=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，

)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线的斜率．

答

（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=3，c=4．
由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

-x1

，
∴|AF|=a-ex₁=5-

x₁．　　同理|CF|=5-

x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=

，
∴（5-

x₁）+（5-

x₂）=

，即x₁+x₂=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

），所以它的垂直平分线方程为
y-

y1+y2

x1-x2

y1-y2

（x-4）
又∵点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

2(x1-x2)

，
又∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，
∴y₂²=

（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-

（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
将此式代入①，并利用x₁+x₂=8的结论得x₀-4=-

，K_BT=

-0

4-x0

．