椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．（1）求证x1+x2=8；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线的斜率．

分类: 作业答案 • 2022-04-17 00:02:42

问题描述：

椭圆

=1上不同三点A(x1，y1)，B(4，

)，C(x2，y2)与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线的斜率．

答

答案解析：（1）由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．由圆锥曲线的统一定义知：

|AF|

−x1

，|AF|=a-ex₁=5-

x₁．同理|CF|=5-

x₂．由此能够证明即x₁+x₂=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，

y1+y2

），所以它的垂直平分线方程为y-

y1+y2

x1−x2

y1−y2

（x-4），由点T在x轴上，设其坐标为（x₀，0），代入上式x₀-4=

−

2(x1−x2)

，再由点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在椭圆上，知y₂²=

（25-x₂²），由此能求出直线的斜率．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．