已知点E(3,0),PQ是x^2/36+y^2/9=1上的两个动点,且PE垂直EQ,求向量EP乘以向量QP的范围
问题描述：
已知点E(3,0),PQ是x^2/36+y^2/9=1上的两个动点,且PE垂直EQ,求向量EP乘以向量QP的范围
∵EP⊥EQ∴EP•EQ＝0
∴向量EP•向量QP＝向量EP•(向量EP−向量EQ)＝向量EP²
设P（x,y）,则x²/36+y²/9＝1,即y²＝9−x²/4
∴向量EP•向量QP＝向量EP²＝(x−3)²+y²＝x²−6x+9+9−x²/4＝3/4(x−4)²+6
∵-6≤x≤6,∴6≤3/4(x−4)²+6≤81
则向量EP•向量QP的取值范围为[6,81]
为什么-6≤x≤6?怎么得到的?
答
这是由椭圆的范围所决定的：设M(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆方程
x^2/36+y^2/9=1
可知,x^2/36≤1,所以 x^2≤36,从而得-6≤x≤6
现在P是椭圆上的一点,所以其坐标(x,y)满足-6≤x≤6