（1）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2+y2=10相交于点P（3，-1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；（2）已知双曲线的离心率e=52，且与椭圆x213+y23=1有共同的焦点，求该双曲线的方程．
问题描述：
（1）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2+y2=10相交于点P（3，-1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；
（2）已知双曲线的离心率e=
，且与椭圆
5
2
+x2 13
=1有共同的焦点，求该双曲线的方程． y2 3
答
（1）切点为P（3，-1）的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10．
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y=0．
设所求双曲线方程为9x2-y2=λ（λ≠0）．
∵点P（3，-1）在双曲线上，代入上式可得λ=80，
∴所求的双曲线方程为
-x2
80 9
=1．y2 80
（2）在椭圆中，焦点坐标为（±
，0），
10
∴c=
，又e=
10
=c a
=
10
a
，∴a2=8，b2=2．
5
2
∴双曲线方程为
-x2 8
=1．y2 2
答案解析：（1）先求出圆过点P的切线方程，进而求出双曲线的两条渐近线方程，再利用已知渐近线方程设出双曲线的方程，最后把点P的坐标代入即可求此双曲线的方程；
（2）先求出椭圆中焦点坐标，求出双曲线中的c，再利用双曲线的离心率e=
，求出a2和b2．就可求双曲线的方程．
5
2
考试点：双曲线的标准方程；圆锥曲线的综合．
知识点：本题考查双曲线标准方程的求法．若双曲线的两条渐近线方程是y=±
x，则双曲线的方程可表示为b a
-x2 a2
=λ（λ≠0）．y2 b2