已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥9.

问题描述:

已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:

1
a
+
1
b
+
1
c
≥9.

证明:由题意知

1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c

=3+(
b
a
+
a
b
)+(
c
a
+
a
c
)+(
b
c
+
c
b

b
a
+
a
b
≥2
c
a
+
a
c
≥2
b
c
+
c
b
≥2

当且仅当a=b=c时,取等号,
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9