设f(x)在R上有定义,且f(-x)=-f(x),f(1/2-x)=f(1/2+x),则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)=_____.
问题描述：
设f(x)在R上有定义,且f(-x)=-f(x),f(1/2-x)=f(1/2+x),则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)=_____.
答
f(-x)=-f(x) (1)
f(1/2 -x)=f(1/2+x) (2)
在（2）中用 x+1/2替换x,得
f(-x)=f(x+1)
对比（1）,得
f(x+1)=-f(x) (3)
在（3）中用x+1替换 x,得
f(x+2)=-f(x+1)
对比（3）,得
f(x+2)=f(x)
从而 f(x)是以2为周期的周期函数.
在（1）中,令x=0,解得f(0)=0
在（2）中令x=1/2,得f(0)=f(1),从而 f(1)=0
所以 f(2012)=f(2010)=f(2008)=.=f(2)=f(0)=0
f(2011)=f(2009)=f(2007)=.=f(3)=f(1)=0
从而f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)=0