如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．（3）求二面角C1-AB-C的正切值．
问题描述：
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
（3）求二面角C1-AB-C的正切值．
答
证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1，∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，∴AC⊥BC，（1分）又直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥CC1，且BC∩CC1=CBC∩CC1⊂平面BCC1B1∴AC⊥平面BCC1B1而BC1⊂平面BCC1B1∴AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B...
答案解析：（1）欲证AC⊥BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，可先证AC⊥平面BCC1B1，而AC⊥BC，AC⊥CC1，且BC∩CC1=C，满足定理所需条件；
（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，满足定理条件；
（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C1F，根据二面角平面角的定义可知∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角，在直角三角形C1FC中求出此角的正切值即可．
考试点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
知识点：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．