证明三角形ABC是等边三角形的充要条件是：ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2,这里a,b,c是三角形ABC三条边.

∵ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2
∴2ab+2bc+2ca=2a²+2b²+2c²
即a²﹢b²﹣2ab﹢a²﹢c²﹣2ac﹢b²﹢c²-2bc=0
(a﹣b)²﹢(b﹣c)²﹢(a﹣c)²≒0
∴a=b=c
∴三角形ABC是等边三角形的充分条件是ab+bc+ca=a²+b²+c²
∵三角形ABC是等边三角形
∴a=b=c
∴ab+bc+ca=a²+b²+c²
∴三角形ABC是等边三角形的必要条件是ab+bc+ca=a²+b²+c²
∴三角形ABC是等边三角形的充要条件是：ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2

ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2
等价于(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
等价于a=b=c
等价于三角形ABC是等边三角形

如果三角形是等边三角形,则有a=b=c成立,显然结论ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2成立
反之,如果有ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2,则两边同乘以2得
2*ab+2*bc+2*ca=2*a^2+2*b^2+2*c^2,整理得
（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2=0
故有a=b=c成立,即三角形是等边三角形