若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(  )A. af(b)>bf(a)B. af(a)>bf(b)C. af(a)<bf(b)D. af(b)<bf(a)

问题描述:

若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(  )
A. af(b)>bf(a)
B. af(a)>bf(b)
C. af(a)<bf(b)
D. af(b)<bf(a)

设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)>0,
∴函数g(x)在R上是增函数,
∵常数a,b满足a>b,
则有af(a)>bf(b),
故选B.
答案解析:由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数g(x)的单调性得到结合常数a,b满足a>b即可得出正确选项.
考试点:函数的单调性与导数的关系.


知识点:本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性的关系对不等式进行判断.