已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1
问题描述：
已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1
答
（1）函数f(x)=lnx-[a(x-1)/x],定义域x(0,+∞)；
f'(x)=(1/x)-(a/x²),令 f'(x)=0,得函数驻点方程：(1/x)-(a/x²)=0,解得 x=a；
一、若 a二、若 a>0,则当 0
（2）假定不等式形式为：(1/lnx)-[1/(x-1)]当 x→1+时,lnx>0,因 lim{lnx/(x-1)}=lim{1/x}=→+∞,题给不等式左端前项小于后项,结论成立；
取函数 F(x)=(1/lnx)-[1/(x-1)],在区间(1,2)内,F(x)连续可微,且 F'(x)=1/(x*ln²x)+1/(x-1)²>0 ,即 F(x) 是单调递增函数,结论成立；