火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示．火箭从地面起飞时，以加速度g02竖直向上做匀加速直线运动（g0为地面附近的重力加速度），已知地球半径为R （

问题描述：

火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示．火箭从地面起飞时，以加速度

竖直向上做匀加速直线运动（g₀为地面附近的重力加速度），已知地球半径为R

（1）升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的

求此时火箭离地面的高度h；
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T₀，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行星为球体，且已知万有引力常量为G）

答

（1）火箭刚起飞前，以测试仪为研究对象，受地球引力mg₀、平台的支持力N₁，合力为零：
N₁-mg₀=0
所以N₁=mg₀
根据牛顿第三定律，在高度h时测试仪器对平台的压力大小为N′=

mg0．
设火箭离地高为h时，平台对测试仪器的支持力为N₂，则有：
N2-G

(R+h)2

=m×

，其中G为万有引力恒量，M为地球质量．
在地面附近，有：G

=mg0
则：N2=(

R+h

)2mg0+

mg0

N1=

mg0
解得：h=

R
（2）设行星质量为M，半径为r，行星平均密度为ρ，G

=mr

4π2

可得M=

4π2r3

GT2

又有：V=

πr3
得：平均密度ρ=

3π

答：1）升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的

，此时火箭离地面的高度为

R；
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T₀，该行星的平均密度为

3π

．