高中数学题：已知a≥0,b≥0,a+b=1,X1、X2∈R,求证：(aX1+bX2)(aX2+bX1)≥X1X2.
问题描述：
高中数学题：已知a≥0,b≥0,a+b=1,X1、X2∈R,求证：(aX1+bX2)(aX2+bX1)≥X1X2.
要过程,先谢谢啦!
答
因为a≥0,b≥0,a+b=1,所以1≥a≥0,1≥b≥0
又以为,b=1-a
所以：(aX1+bX2)(aX2+bX1)=[x1-b(x1-x2)][x2+b(x1-x2)]
=x1x2+bx1(x1-x2)-bx2(x1-x2)-(b^2)(x1-x2)^2
=x1x2+b(x1-x2)^2-(b^2)(x1-x2)^2
=x1x2+(b-b^2)(x1-x2)^2
因为1≥b≥0,所以b≥b^2
所以(b-b^2)(x1-x2)^2≥0
所以：(aX1+bX2)(aX2+bX1)≥X1X2.