已知O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=入1向量AB+入2向量AC,则入1+入2的值,是多少?
问题描述：
已知O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=1,角BAC=120度,若向量AO=入1向量AB+入2向量AC,则入1+入2的值,是多少?
答
由余弦定理：BC=(AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos120°)^(1/2) =(4+1+2)^(1/2)=7^(1/2) 则AO=(BC/2)/cos30°=(7/3)^(1/2) 过O作AC的垂线与AC交于D,再过O作AB的平行线与AC的延长线交于E,则DO=(AO^2-(AC/2)^2)^(1/2)=(7/3-1/4)^(1/2)=(25/12)^(1/2) ∵∠DEO=60° ∴DO/EO=cos30° ∴EO=DO/cos30°=(25/12)^(1/2)*(2/3^(1/2))=5/3 ∴DE=EO/2=5/6 ∴AE=DE+AC/2=5/6+1/2=4/3 过O作AC的平行线与AB交于F,则四边形FAEO是平行四边形,向量AO=向量AF+向量AE=m*向量a+n*向量b ∴|向量AF|=m*|向量a|,|向量AE|=n*|向量b| ∵|向量AF|=EO=5/3,|向量a|=2,|向量AE|=4/3,|向量b|=1 ∴5/3=2m,4/3=n ∴m +n = 5/6 +4/3 = 13/6