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设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）可导，证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使bf(b)-af(a)b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 16:04:53
问题描述：

设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）可导，
证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使

bf(b)-af(a)
b-a
=f（ξ）+ξf′（ξ）．

答


构造辅助函数：F（x）=xf（x），
则：F（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，
从而F（x）满足拉格朗日中值定理，
则：在（a，b）内至少存在一点ξ，
使得：

F(b)-F(a)
b-a
=F′(ξ)，
而：F′（x）=f（x）+xf′（x），
∴
bf(b)-af(a)
b-a
=f（ξ）+ξf′（ξ），
证毕．

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