(2014•许昌三模)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为(  )A. (23,+∞)B. (-∞,-2)C. (-2,23)D. (-∞,-2)∪(23,+∞)

问题描述:

(2014•许昌三模)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为(  )
A. (

2
3
,+∞)
B. (-∞,-2)
C. (-2,
2
3

D. (-∞,-2)∪(
2
3
,+∞)

易知原函数在R上单调递增,且为奇函数,故f(mx-2)+f(x)<0,则f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应有mx-2<-x,即xm+x-2<0,对所有m∈[-2,2]恒成立,令g(m)=xm+x-2,此时只需g(−2)<0g(2)<0即可,解之得-2...
答案解析:由题意知原函数在R上单调递增,且为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0恒成立得mx-2<-x⇒xm+x-2<0,对所有m∈[-2,2]恒成立,然后构造函数f(m)=xm+x-2,利用该函数的单调性可解得x的范围.
考试点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.
知识点:本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,在解决不等式恒成立问题时注意变换主元的方法,是个中档题.