如何证可逆实矩阵可分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积
问题描述：
如何证可逆实矩阵可分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积
答
这东西叫极分解.
需要先证一个引理：任何一个实方阵A,都存在正交方阵P,Q使得PAQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数
有这个引理.题中所给的是可逆矩阵,设这个可逆矩阵叫做B,那么由于P,Q都是正交矩阵,是可逆的,所以PBQ逆的.
由引理,应该存在正交方阵P,Q使得PBQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数.但是PBQ是可逆的,所以PBQ=diag(a1,a2,...an)
得到B=P'diag(a1,...an)Q'（其中的'表示转置）
P'是正交矩阵,而diag(a1,...an)Q'是正定矩阵.证毕不好意思，我写错了。。。。是B=P'diag(a1,...an)Q'=P'diag(a1,...an)PP'Q'。这个P'diag(a1,...an)P是正定的，而后面的P'Q'是两个正交阵相乘，还是正交阵