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点A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为2/3，则这个球的表面积为 _ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 14:42:52
问题描述：

点A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=

2
，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为
2
3
，则这个球的表面积为 ___ ．

答

根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为

1
3
S△ABC×DQ=
2
3
，
即
1
3
×1×DQ=
2
3
，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2-R）2，∴R=
5
4

则这个球的表面积为：S=4π（
5
4
）2=
25
4
π；
故答案为：
25
4
π．

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