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在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且cos2C＝1−8b2a2． （1）求1/tanA+1/tanC的值； （2）若tanB＝8/15，求tanA及tanC的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 14:31:46
问题描述：

在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且cos2C＝1−

8b2
a2
．
（1）求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（2）若tanB＝
8
15
，求tanA及tanC的值．

答

（1）∵cos2C＝1−

8b2
a2
，cos2C=1-2sin2C，
∴sin2C＝
4b2
a2
，
∵C为三角形内角，∴sinC＞0，
∴sinC＝
2b
a
，
∵
a
sinA
＝
b
sinB
，∴
b
a
＝
sinB
sinA
，
∴sinC=
2sinB
sinA
，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴
1
tanA
+
1
tanC
＝
1
2
；
（2）∵
1
tanA
+
1
tanC
＝
1
2
，
∴tanA＝
2tanC
tanC−2
，
∵A+B+C=π，
∴tanB＝−tan(A+C)＝−
tanA+tanC
1−tanAtanC
＝
tan2C
2tan2C−tanC+2
．
∴
8
15
＝
tan2C
2tan2C−tanC+2
，
整理得tan2C-8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
将tanC=4代入得：tanA＝
2tanC
tanC−2
=4．

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