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已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于22．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN

分类: 作业答案 • 2021-12-29 10:44:17
问题描述：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于

2
2
．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

答

（1）设椭圆C的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
则由题意知b=1．∴
a2-b2
a2
=
2
2
．
即
1-
1
a2
=
2
2
．∴a2=2．
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x2+4mx+2m2-2=0
由△=24-8m2＞0得m2＜3
设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-
4
3
m
∵F（1，0），∴1=
x1+x2+xM
3
=-
4m
9

∴m=-
9
4
，不满足m2＜3
故直线l方程不存在．

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