定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意的m，n∈（0，+∞）都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．（1）试求f（1）的值；（2）证明：f（1x）=-f（x）对任意x∈（0，+∞）都成立；（3）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（4）当f（2）=-12时，解不等式f（x-3）＞-1．
问题描述：
定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意的m，n∈（0，+∞）都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）试求f（1）的值；
（2）证明：f（
）=-f（x）对任意x∈（0，+∞）都成立；1 x
（3）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（4）当f（2）=-
时，解不等式f（x-3）＞-1．1 2
答
（1）∵f（m•n）=f（m）+f（n）对任意的m，n∈（0，+∞）都成立，∴令m=n=1得，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，（2）由题意及（1）可知，f(1x)+f(x)=f(1x•x)=f(1)=0，∴f(1x)=-f(x)；（3）证明：任取x1，x2∈（0，+∞...
答案解析：（1）直接令m=n=1，即可求出f（1）的值；
（2）令m=x，n=
，结合f（m•n）=f（m）+f（n），从而可证明结论；1 x
（3）直接利用函数单调性的定义进行证明即可；
（4）根据f（4）=-1，可得f（x-3）＞f（4），然后利用函数的单调性进行求解即可．
考试点：抽象函数及其应用
知识点：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．