已知曲线f(x)=ax3+b经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=3x-1, (1)求y=f(x)的解析式; (2)求曲线过点(-1,0)的切线的方程.

问题描述:

已知曲线f(x)=ax3+b经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=3x-1,
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求曲线过点(-1,0)的切线的方程.

(1)因为f′(x)=3ax2
所以f′(1)=3a,又因为函数在f(x)处的切线方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1,
又因为f(x)=ax3+b的图象过(0,1)
所以b=1,
所以f(x)=x3+1;
(2)设切点为(m,n),
f′(x)=3x2,则3m2=

n
m+1

f(m)=n,即m3+1=n.
解得m=-1或
1
2

故切线的斜率为3或
3
4

所以由点斜式可得切线方程为y=3x+3或y=
3
4
x+
3
4