已知函数f（x）=lnx-x-1． （Ⅰ）求函数f（x）的极大值 （Ⅱ）定义运算：.abdc.=ac-bd，其中a，b，c，d∈R． ①求证：∃x0∈（1，+∞），使得.f(x0)f(1/2)11.=0； ②设函数F（x）=f（x）+x+1

答

（Ⅰ）由f′（x）=

1

x

-1=0，解得：x=1，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）_极大值=f（1）=-2；
（Ⅱ）①易知等价于证明：∃x₀∈（1，+∞），f（x₀）-f（

1

2

）=0，
令K（x）=f（x）-f（

1

2

），
则K（x）=lnx-x+ln2+

1

2

，x＞1，
当x∈（1，+∞）时，K′（x）=

1

x

-1＜0，
∴K（x）在（1，+∞）递减，
又∵K（1）＞1，K（e）＜0，
∴∃唯一的x₀∈（1，e），使得K（x₀）=0，
②易知F（x）=lnx，H（x）=e^x，
∴m（e^x-1）-e^x，x＜1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，
∴m＜

xex+1

ex−1

，
令G（x）=

xex+1

ex−1

，x＞0，
∴G′（x）=

ex(ex−x−2)

(ex−1)2

，
再令R（x）=e^x-x-2，x＞0，
当x＞0时，R′（x）=e^x-1＞0，
∴R（x）=e^x-x-2在x＞0上递增，
易知R（1）=e-3＜0，R（2）=e²-4＞0，
∴∃x₁∈（1，2），使R（x₁）=0，即ex1=x₁+2，
当x∈（0，x₁ ）时，R（x）＜0，G′（x）＜0，
当x∈（x₁，+∞）时，R（x）＞0，G′（x）＞0，
∴G（x）_最小值=G（x₁ ）=x₁+1，
又∵x₁∈（1，2），∴2＜G（x₁ ）＜3，
∴整数m的最大值为2．