如图所示,▱ABCD中,M,N,P,Q分别为AB,BC,CD,DA上的点,且AM=BN=CP=DQ. 求证:四边形MNPQ为平行四边形.

问题描述:

如图所示,▱ABCD中,M,N,P,Q分别为AB,BC,CD,DA上的点,且AM=BN=CP=DQ.
求证:四边形MNPQ为平行四边形.

证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D.
∵AM=BN=CP=DQ,
∴AB-AM=CD-CP,AD-DQ=BC-BN,
即BM=DP,AQ=CN.
在△AMQ和△CPN中,AM=CP,∠A=∠C,
AQ=CN,∴△AMQ≌△CPN(SAS),MQ=PN,
同理可证:△BMN≌△DPQ,∴MN=PQ,
故四边形MNPQ是平行四边形.