如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点． 求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
问题描述：
如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．
答
证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM=
∠BPD=∠BAD=60°，1 2
从而∠PBM=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，则SN＝
SB．1 2
又DS＝2SB，DM＝MB＝
BD，1 2
∴MS＝DS−DM＝2SB−
SB＝3 2
SB＝SN，1 2
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以∠PAB＝
∠NPS＝15°，1 2
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．