如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC.

问题描述:

如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.
求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC.

证明:(1)由已知得∠ADC=90°,
从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心,
作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,
所以∠BPM=

1
2
∠BPD=∠BAD=60°,
从而∠PBM=30°;
(2)作SN⊥BP于点N,则SN=
1
2
SB

DS=2SB,DM=MB=
1
2
BD

MS=DS−DM=2SB−
3
2
SB=
1
2
SB=SN

∴Rt△PMS≌Rt△PNS,
∴∠MPS=∠NPS=30°,
又PA=PB,所以∠PAB=
1
2
∠NPS=15°

故∠DAC=45°=∠DCA,
所以AD=DC.
答案解析:(1)连接PD,四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,根据内角和定理可求∠ADC=90°,则A、B、C、D四点共圆,对角线AC为直径,P点为圆心,△PBD为等腰三角形,根据圆周角定理∠BPD=2∠BAD,可证∠PBD=30°;(2)作SN⊥BP于点N,由(1)的结论可知SN=12SB,利用线段之间个关系证明MS=12SB=SN,从而判断Rt△PMS≌Rt△PNS,得出∠MPS=∠NPS=30°,由圆周角定理得∠PAB=12∠NPS,则∠DAC=∠BAD-∠PAB=45°,又AC为直径,故AD=DC.
考试点:四点共圆;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了四点共圆,三角形全等的判定与性质.关键是判断△ABC,△ADC,公共斜边AC,利用圆周角定理求相关的角.