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如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（-2，3），且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，

分类: 作业答案 • 2021-11-12 23:50:37
问题描述：

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（-2，3），且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA-PB最大时，求点P的坐标．

答

（1）∵抛物线的顶点坐标为A（-2，3），∴可设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+3．
由题意得：a（0+2）2+3=2，解得：a=-

1
4
．
∴物线的解析式为y=-
1
4
（x+2）2+3，即y=-
1
4
x2-x+2．
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA2=（-2-p）2+32，PB2=p2+22，AB2=（3-2）2+22=5
当PA=PB时，（-2-p）2+32=p2+22，解得：p=-
9
4
；
当PA=AB时，（-2-p）2+32=5，方程无实数解；
当PB=AB时，p2+22=5，解得p=±1．
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（-
9
4
，0）或（-1，0）或（1，0）．
（3）∵PA-PB≤AB，
∴当A、B、P三点共线时，可得PA-PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
b=2         
-2k+b=3
，解得
k=-
1
2
b=2
．
∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x+2，
当y=-
1
2
x+2=0时，解得x=4．
∴当PA-PB最大时，点P的坐标是（4，0）．

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