定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0． （1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A
定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有
＞0．f(a)+f(b) a+b
（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．
（2）若
f（x）≤m2+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 1 2
（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，
则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2．
则f（x1）-f（x2）=f（x1 ）+f（-x2）=
[x1+（-x2）]．f(x1)+f(−x2)
x1+(−x2)
由于
＞0，且[x1+（-x2）]＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，f(x1)+f(−x2)
x1+(−x2)
故函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（2）由于
f(x)≤m2+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，1 2
∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．
由于由（1）可得，函数f（x）是[-1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，
∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0．
令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有
，
g(−1)＝m2−2m≥0 g(1)＝ m2+2m≥0
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．