若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
问题描述：
若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
答
（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]-（ax2+bx+1）=2x，
化简得，2ax+a+b=2x，
∴
，
2a=2 a+b=0
∴a=1，b=-1．
∴f（x）=x2-x+1；
（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2-x+1＞2x+m，
即x2-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，
设g（x）=x2-3x+1-m，则其对称轴为x=
，3 2
∴g（x）在[-1，1]上是单调递减函数．
因此只需g（x）的最小值大于零即可，
g（x）min=g（1），
∴g（1）＞0，
即1-3+1-m＞0，解得，m＜-1，
∴实数m的取值范围是m＜-1．