已知数列{an}中,a1=1,且满足递推关系an+1=2a2n+3an+man+1(m∈N*)(1)当m=1时,求数列{an}的通项an;(2)当m∈N*时,数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立,求m的取值范围.

问题描述:

已知数列{an}中,a1=1,且满足递推关系an+1=

2
a 2n
+3an+m
an+1
(m∈N*
(1)当m=1时,求数列{an}的通项an
(2)当m∈N*时,数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立,求m的取值范围.

(1)m=1,由an+1=

2an2+3an+1
an+1
,n∈N*
得:an+1=
(2an+1)( an+1)
an+1
=2an+1

an+1+1=2(an+1),
∴{an+1}是以2为首项,公比也是2的等比例数列.
于是an+1=2•2n-1
∴an=2n-1.
(2)由an+1≥an,a1=1,知an>0,
2an2+3an+m
an+1
an

即m≥-an2-2an
依题意,有m≥-(an+1)2+1恒成立.
∵an≥1,
∴m≥-22+1=-3,
∵m∈m∈N*
即满足题意的m的取值范围是[1,+∞).