如何证明一组勾股数中必然有一个数是5的倍数?
问题描述：
如何证明一组勾股数中必然有一个数是5的倍数?
答
我们不妨设任一组勾股数：a,b,c,且令a^2+b^2=c^2
再引进两个整数p>q>0,令a=p^2-q^2,b=2pq,则c=p^2+q^2
假设a,b,c里边没有一个是5的倍数.
那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q),b=2pq,因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数.
于是,设任意非负整数m,n
p和q的组成形式只有：
1.p=5m+1,q=5n+2(或p=5m+2,q=5n+1)
2.p=5m+1,q=5n+3(或p=5m+3,q=5n+1)
3.p=5m+2,q=5n+4(或p=5m+4,q=5n+2)
4.p=5m+3,q=5n+4(或p=5m+4,q=5n+3)
因此对于c=p^2+q^2
1.c=(5m+1)^2+(5n+2)^2=25m^2+10m+25n^2+20n+5【或c=(5m+2)^2+(5n+1)^2=25m^2+20m+25n^2+10n+5】,是5的倍数.
对于2.3.4情况同理.
与假设矛盾.
故a.b.c中必然有一个为5的倍数.
即一组勾股数中必然有一个数是5的倍数.
得证.