已知实数a,b,c,r,p满足pr>1,pc-2b+ra=0,求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根.
问题描述:
已知实数a,b,c,r,p满足pr>1,pc-2b+ra=0,求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根.
答
证明:由已知得2b=pc+ra,
所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=(pc-ra)2+4ac(pr-1).
由已知pr-1>0,又(pc-ra)2≥0,
所以当ac≥0时,△≥0;
当ac<0时,也有△=(2b)2-4ac>0.
综上,总有△≥0,
故原方程必有实数根.