设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）． （1）求f（x）的极小值； （2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．
答
（1）∵f′（x）=2ln（2x+1）+2，
f′（x）=0，
∴x=
(1 2
−1)1 e
当x∈(
(1 2
−1)， +∞)，f′（x）＞01 e
当x∈(−
，(1 2
(1 2
−1))，f′（x）＜01 e
∴函数的极小值是f（
(1 2
−1)+=-1 e
1 e
（2）x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=
ea−1−11 2
当a≤1，a-1≤0，
ea−1−1≤01 2
g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，对于x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
当a＞1时，a-1＞0，
(ea−1−1)＞01 2
当x∈[0，
(ea−1−1))，g′（x）＜0恒成立，1 2
又g（0）=0，∴当x∈[0，
(ea−1−1))时，g（x）≤g（0）=0成立，1 2
即当a＞1时，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
综上可知a≤1．