在△ABC中，AB•AC＝1，AB•BC＝−3．（1）求AB边的长度；（2）求sin(A−B)sinC的值．
问题描述：
在△ABC中，
•
AB
＝1，
AC
•
AB
＝−3．
BC
（1）求AB边的长度；
（2）求
的值． sin(A−B) sinC
答
（1）∵
•
AB
=
AC
•(
AB
+
AB
)
BC
=
•
AB
+
AB
•
AB
=
BC
2-3=1．
AB
∴|
|=2．即AB边的长度为2．（5分）
AB
（2）由已知及（1）有：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3，
∴acosB=3bcosA（8分）
由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA（10分）
∴
=sin(A-B) sinC
=sin(A-B) sin(A+B)
=sinAcosB-cosAsinB sinAcosB+cosAsinB
（12分）1 2
答案解析：（1）直接根据
•
AB
＝
AC
•(
AB
+
AB
)，再结合
BC
•
AB
＝1，
AC
•
AB
＝−3即可求出求AB边的长度；
BC
（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA，再代入所求即可得到结论．
考试点：两角和与差的正弦函数；平面向量的综合题．
知识点：本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中，用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．