函数f(x)证明题
问题描述：
函数f(x)证明题
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f'(ξ)
答
证明：令F(x)=f(x)/e^x,则
F(a)=f(a)/e^a=0 F(b)=f(b)/e^b=0
所以F(a)=F(b)
由罗尔定理,在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得F‘(ξ)=0
又F‘(ξ)=[f'(ξ)e^ξ-f(ξ)e^ξ]/e^(2ξ)=[f'(ξ)-f(ξ)]/e^ξ
即在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f'(ξ)